집합과 명제 하나 질문

골뭇 | 조회 수 218 | 2016.03.13. 01:03
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image.jpeg : 집합과 명제 하나 질문image.jpeg : 집합과 명제 하나 질문동아 수2 p70 마무리 평가 문제입니다.

1번 질문

풀이할 때 저런 식으로 어떤 교집합이나 어떤 연산으로 이루어진 것을 하나의 집합으로 보고 풀이해도 괜찮습니까? 아마 될 거라고 생각하지만, 그래도 확실하게 해야할 것 같아서 질문드립니다.

2번 질문

풀이 과정에 비약은 없나요? 일단 맞기는 맞았는데, 교과서 평가 문제라 풀이가 나와있는게 거의 없어서 확인할 길이 없네요.

3번 질문

풀이가 틀리지 않았다면, 집합 명제 문제는 웬만하면 저렇게 대수적 풀이로 밀고나가려 하는데 졸라 비효율적인가요?

벤다이어그램으로 풀이하는건 제 직관력이 좀 후달려서 정확도가 좀 떨어져서 말입니다.
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가장 at 2016.03.13. 04:44

1번.

 

집합은 조건제시법으로 표현할 수 있는데, 이는 집합 그 자체는 명제가 아니라 조건임을 뜻합니다.

∩,∪,~,= 등은 흔히 결합사라고 부릅니다. ('~'은 집합의 부정, 여집합을 표현하는 기호입니다.)

조건 p와 q가 ∩로 연결되면, p∩q(p 또한 q) 두 조건이 이와 같이 결합되서 새로운 조건이 만들어 집니다.

조건 p와 q가 =로 연결되면, p=q(만일 p라면 오직 그 경우에만 q이다)

두 조건이 이와 같이 결합되서 하나의 명제가 만들어 집니다.

 

두 조건이 ∩, ∪, ~로 연결되면 하나의 조건이 됩니다.

두 조건이 =,⊂로 연결되면 하나의 명제가 됩니다. (이 문장은 3번 설명에서 보충해드리겠습니다.)

 

따라서 '연산을 거친 집합'이 연산 기호 ∩, ∪, ~로 연결된 집합이라면, 그것은 집합으로 취급하시는 것이 맞습니다.

 

2번. 풀이과정에 비약은 없어보입니다. 다만, 3번 설명과 통합하여 말씀드리겠습니다.

 

3번. 풀이가 과연 효율적일까요?

(P-Q)∪(Q-~R)=(P∩~Q)∪(Q∩R)=∅

차집합만 정리하도록 합시다. 여기서 더이상 정리하지 마세요.

 

연산기호의 의미만 안다면 위 명제의 의미를 바로 알아낼 수 있기 때문이죠.

∩ : '또한'이라고 해석합니다.

∪ : '또는'이라고 해석합니다.

~ : '틸드'라고 부르는 부정기호입니다. 여집합에 쓰이는 기호이죠. '아니다'라고 해석합니다.

= : 상등이라고 부릅니다. '만일 ~이면 그리고 오직 그 경우에만'이라고 해석합니다. 필요충분조건을 의미합니다.

⊂ : 부분집합을 표현하는 기호이죠. 조건기호입니다. p⊂q는 'p이면 q이다'로 해석합니다.

'p는 q의 충분조건이다. q는 p의 필요조건이다.'로 해석하셔도 됩니다.

(, ), {, }, [, ] : 명제나 조건이 복합적일 때, 결합사의 지배범위를 나타냅니다.

 

문제가 요구하는 것은 집합변항을 명제변항으로 변환시키는 것입니다.

집합변항 : ∩ / ∪ / -(c) / U / ø / =/⊂

명제변항 : • (또한)/ V(또는) / ~ / pV~p / p•~p / ≡(↔,⇔)/→,⇒

*차례대로 대응합니다. 교육과정에 없는 명제변항은 기억하지 않으셔도 됩니다.

 

1. 

(P∩~Q)∪(Q∩R)=∅

공집합의 중요한 공식(1) : AUB=∅에서 A=∅, B=∅를 각각 도출해낼 수 있습니다.

 

따라서 (P∩~Q)=∅, (Q∩R)=∅를 도출할 수 있습니다.

 

2.

공집합의 중요한 공식(2) : A∩B=∅에서 A⊂~B와 B⊂~A를 도출해낼 수 있습니다. 

*그림으로 그려서 꼭 암기하시기 바랍니다. 

공집합과 관련된 문제를 만날 때 이 두 가지 공식을 꼭 기억하셔야 합니다.

 

(P∩~Q)=∅, (Q∩R)=∅ 에서

P⊂Q와 Q⊂~R을 도출할 수 있습니다.

 

3.

이제 집합변항 ⊂을 명제변항 ⇒로 변환하시면 됩니다.

따라서 P⊂Q와 Q⊂~R에서

p⇒q와 q⇒~r을 얻어내실 수 있습니다.

정리하면 p⇒q⇒~r이 됩니다.

 

 

[요약해드리겠습니다.]

1. 먼저 차집합을 교집합으로 정리합니다.

2. 공집합의 두 가지 공식을 이용하여 공집합과 합집합, 교집합을 부분집합으로 정리합니다.

3. 부분집합을 ⇒로 변환합니다.

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가장 at 2016.03.13. 07:01

http://kockoc.com/index.php?mid=board_dmIq45&document_srl=675196

 

아래 칼럼으로 정리해놓았습니다.

골뭇 at 2016.03.13. 07:33
와 정말 친절한 답변 정말 감사드립니다. 시간 많이 걸려셨을텐데 괜히 폐끼친것은 아닌가 싶네요.

다시 한번 감사드려요!
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