지수의 확장 간단한 질문

골뭇 | 조회 수 211 | 2016.03.30. 23:01
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서술과정에서

'a의 0제곱이 성립한다고 가정하면 a의 0제곱은 1 이라고 정의될 수 있음'

이라고 하면서 확장 해나가는데

a의 0제곱은 고딩수학에서는 그냥 논증없이 받아들이는 건가요?
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미유미유 at 2016.03.30. 23:05
A를 A로 나눠보시죠
골뭇 at 2016.03.30. 23:09
아니 그건 이해하는데

의문은 '왜 a의 0제곱이라는 것이 정의될수 있는가' 입니다.

교과서에도 '0제곱이 성립한다고 가정할 때' a의 0제곱이 1이라고 정의할 수 있다. 라고 되어 있죠. 그럼 0제곱이 성립한다는 가정이 타당해야 저 명제는 참이 되겠져.

그러니까 저기서 어째서 0제곱이 성립한다고 가정하는게 타당한가? 가 질문의 요지입니다.
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허혁재 at 2016.03.31. 00:01

a^0이란걸 정의하는 상황에서

a^0이란게 지금까지 없었으니 이걸 뭐라고 놓는게 지금까지 우리가 해온 행위들(지수법칙)에 부합하는 자연스러운 정의일까 고민하다가

a^3=aaa a^2 = aa, a^1 = a로 지수가 1 감소할 때마다 a를 하나씩 나눠나가니까

a^0 = 1으로 정의하는게 자연스럽다는 일종의 스토리죠. a^0이 정의될 수 있는지 없는지를 따지는 건 의미가 없어요.

(정의할 수 없으면 그냥 중학교 지수법칙만 정의하고 쓰면 되는, 나름대로의 해피엔딩을 맞이하면 됩니다)

골뭇 at 2016.03.31. 00:31
아, 그냥 논증하는게 아니라 표현그대로 그렇게 '정의' 한 것이군요.. 그러면 고등 수학말고도 대학 수학에서도 마찬가지로 검증과정은 없고 단순히 '정의' 하고 넘어가는건가요?
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허혁재 at 2016.03.31. 00:41
수학관련 전공이 아니라 거기까진 모르겠습니다 ㅎ
골뭇 at 2016.03.31. 00:46
알겠습니다. 친절히 답변 해주셔서 감사합니다ㅎㅎ
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apoc at 2016.03.31. 02:33

0이 덧셈의 항등원이라는 성질로 논증하면 되는 것 같은디

2^0=a라고 하면

2^(k+0) = 2^(0+K) = 2^K, 그런데 지수 성질에 따라 2^0 X 2^k = a X 2^ → 2^k = a X 2^k ; a=1 

 

더 세련되게 하고 싶으면 2^0≠1 이라고 가정했을 때 어떤 결론이 나오나 하면 그만.

 

골뭇 at 2016.03.31. 07:41
(수정)근데 다시 보니까 1번 논증은 안되는거 아닙니까? 그전까지는 양의 정수인 지수에서만 성립하는 지수법칙이었는데 저기서는 이미 ^0일때도 이미 지수법칙이 성립한다고 전제되어 있잖슴. 뭔가 순환논증된거 같은디유. 2번은 되겠네용

그나저나 항등원 역원은 왜 교육과정에서 날라간거죠. 이거 매우 중요한 개념아님?

아무튼 아폭님 답변해주셔서 감사합니다~
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apoc at 2016.03.31. 11:48

0의 존재 자체가 음의 정수를 전제하는지라

 

덧셈의 항등원이 있다면 역원도 당연히 있어야 하고

따라서 a의 덧셈 역원이 k라고 했을 때 a+k=k+a=0. 이 경우 k=-a

이렇게 되어서 당연히 음의 정수에까지 성립한다고 할 수 있죠.

 

즉 이건 애시당초 '연산'의 의의에서 항등원과 역원, 그리고 열려있다, 닫혀있다가 뭔지까지 알면 별 문제가 안 되어있는 것임.

순환논증이 아님요. 다시 말하지만 0이 도입된 이상 항등원과 역원의 성질로 이미 음의 정수까지 내포하는 셈

 

골뭇 at 2016.03.31. 14:01
켁. 수알못 입다물게요

답변은 감사합니다
템페라 at 2016.03.31. 22:33
오 저도 이 부분 처음 공부할 때 의문점이 들었었는데
어떤 수의 0제곱은 역수의 곱셈을 지수법칙으로 표현함에서 생겨난 것 같습니다
자세히 찾아보니까 0의 0제곱은 정의되지 않더라고요
왜냐하면 0의 역수가 정의되지 않으니까요
골뭇 at 2016.03.31. 22:46
ㅇㅇ증명하는게 아닌데 포인트를 잘못 집은듯ㅠㅠ
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