함수의 극한 문제 질문할게요

호구마 | 조회 수 180 | 2016.04.29. 23:43
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image.jpeg : 함수의 극한 문제 질문할게요저는 이 문제를 a가 0인 경우와 a가 양수 a가 음수 요 세 범위로 나눠서 풀었는데

a가 0일때 0에서 연속이므로 a=0
a가 양수일때는 1 ,3
a가 음수일때는 -3이 나와서
총 4개가 나오는데
답은 3개라네요 ㅠ 어디서 틀린걸까요
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히히히히 at 2016.04.30. 00:27
1일때 그림을 그려서 체크해보세요!
암산이라 확실하지않지만 꼭 그림그려서 체크해보시길
호구마 at 2016.04.30. 00:34
a=1 말씀하시는건가요??
호구마 at 2016.04.30. 10:35
확인해보니 a가 1이면 x=0에서 불연속이네요
이걸 처음부터 어떻게 알순없나요..?
각각 다 해봐야하나요?
히히히히 at 2016.04.30. 12:02
처음부터 안다는게 무슨말씀이시죠?
힌트를 드리자면 그래프를 평행이동시키면서
함숫값이 0인점을 찾는겁니다
호구마 at 2016.04.30. 12:29
그러면 0일때를 빼먹게 되지않나요?
히히히히 at 2016.04.30. 13:12
함숫값이요 x가 아님여

님 판단할때 다 일일히 넣어보시는거같은데

연속성을 생각해보시고 0에서 좌우 함숫값을 보세영
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apoc at 2016.04.30. 01:22

y=f(x)의 불연속은 x=0,

y=f(x-a)의 불연속은 x=a에서 발생합죠

따라서 y=f(x)f(x-a)는 기본적으로 x=0과 x=a를 모두 체크해야죵

x=0일 때 f(x)가 불연속, 좌극한 -3, 우극한 3이므로 이므로 f(x-a)가 좌극한과 우극한이 부호만 반대고 절댓값이 같으면 되고

x=a일 때 f(x-a)가 불연속. 좌극한 -3, 우극한 3이므로 f(x)가 좌극한 우극한이 부호만 반대고 절댓값이 같으면 되죠

즉 f(x) 입장에서는 x=-a 그리고 동시에 x=a일 때 좌우극한이 부호가 다르고 절댓값이 같으면 됨

이걸 충족하는 건 a=0,3,-3 빼고 없죠

a=1인 경우 x=1에서는 좌우극한이 부호가 다르고 절댓값이 같지만 x=-1에서는 되지 않으니까

 

호구마 at 2016.04.30. 10:36
오늘도 답변 감사합니다.
제가 즉 fx 입장에서는 x=-a , x=a가 동시에 성립해야 한다는 말이 이해가 안가는데 그 부분만 다시한번 설명해 주실수 있으실까요 ㅠㅠ
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apoc at 2016.04.30. 10:40
안 그러면 불연속점 생기죠.

직접 식증명 가능핫ㄴㅁ
호구마 at 2016.04.30. 10:58
계속 생각해봤는데 어떤 의미인지를 모르겠네요 ㅠ
조금만 더 도와주시겟나요
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apoc at 2016.04.30. 11:05
더 이상은 다메.
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apoc at 2016.04.30. 18:24

이거 생각보다 어렵지 않아서리.

이 문제는 좋은 문제입니다. 왜냐면 패턴에 의존하는 친구들을 엿먹이거든요.

특히 불연속을 치유하려면 곱해주는 함수값이 0이면 된다라는 매너리즘에 쩌는 애들을 '저격'하는 좋은 문제입니다.

 

무조건 100%인 건 연속의 정의는 함숫값과 극한값이 같다는 겁니다.

이 문제를 그래프로 접근하면 풀 수는 있지만 상당히 번거로워지고, 실수할 가능성도 높아집니다.

 

우선 g(x)=f(x)f(x-a)라고 정의합시다.

그런데 이 g(x)는 모든 실수 x에 연속이어야합니다, 즉 불연속점이 하나라도 있으면 안 됩니다.

두 함수가 특정 구간에서 연속이면 두 함수의 곱도 연속이니 우리는 불연속점만 신경쓰면 됩니다.

 

g(x)=f(x)f(x-a)에서는 왼쪽의 f(x)가 불연속이 되거나 오른쪽의 f(x-a)가 불연속이 되는 x값을 모두 찾아봅니다.

왼쪽의 f(x)가 불연속인 x는 x=0입니다

오른쪽의 f(x-a)가 불연속인 x는 x=a입니다.

그러면 불연속 후보는 {0,a}가 되겠네요.

 

그럼 x=0일 때 g(x)가 연속이 되려면

g(0)=g(0+0)=g(0-0)이어야합니다(저건 간편화한 우극한, 좌극한 표현입니다)

g(0)=f(0)f(0-a)=3f(-a)

g(0+0)=f(0+0)f(-a+0)=3f(-a+0)

g(0-0)=f(0-0)f(-a-0)=-3f(-a-0)이 되겠죠

그럼 3f(a)=3f(-a+0)=-3f(-a-0) → f(-a)=f(-a+0)=-f(-a-0)을 만족하는 a는

-a=-3, 0, 1, 3이므로

이 a의 집합 A는

A={3, 0, -1, -3}이 됩니다.

a가 A의 원소를 취하면 x=0에서 불연속이 해결됩니다.

 

그 다음으로는 x=a의 불연속을 해결해야겠네요

g(a)=g(a+0)=g(a-0)이어야하겠죠

g(a)=f(a)f(0)=3f(a)

g(a+0)=f(a+0)f(0+0)=3f(a+0)

g(a-0)=f(a-0)f(0-0)=-3f(a-0)

f(a)=f(a+0)=-f(a-0)여야하고 이런 a는

a=-3, 0, 1, 3이므로 이를 만족시키는 a의 집합 B는

B={-3, 0, 1, 3}이 됩니다.

 

그런데 우리의 함수 g(x)는 x=0, a에서 모두 연속이어야하므로

우리가 구하는 a는 A와 B의 교집합이어야죠.

둘 다 충족시키지 못 하면 g(x)는 불연속점이 생겨버립니다.

(쓴소리하자면 이걸 이해 못 했다면 고1 과정부터 공부 다시 해야합니다. 그래서 위에서 답변을 안 한 겁니다)

 

이 문제는 패턴화된 연속성 문제를 저격합니다.

그래프 풀이조차도 상당히 문제가 있어요. 위에서처럼 식풀이를 해야합니다.

제 풀이를 보아서 알겟지만 그다지 복잡하지도 않습니다.

그냥 편견을 버리고 패턴도 버리고 주어진 조건대로 교과서적 정의에다가 논리문제로 가면 깔끔히 풀립니다.

이게 안 된다는 건 수학적 사고의 틀이 잘못 잡혔단 이야기입니다.

 

히히히히 at 2016.04.30. 20:16
곱해주는 함수가 그점에서 함숫값이 0이고 연속이면 대는거아님니가?

함숫값이 0이고 연속이면 연속의 정의에의해서
좌우극한값도 0이되고
그러면 곱해지는 값이 뭐든 함숫값과 좌우극한값이 0이대니까 성립

이러캐 대는거 아녓나
난 저러캐 다 풀어써는디
딱히 교과서에 업는내용안쓰고 정의만썻는대 안대나
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apoc at 2016.04.30. 20:30

그 접근으로 가면 처음에 a=0을 놓쳐버리기 쉽습니다.

그리고 엉뚱하게 a=1에 집착하게 되는데. a=1일 때는 불연속점이 하나 생기죠

그리고 함숫값이 0이 아니어도 연속이 된다는 게 a=0일 때 보이죠.

 

그 점에서는 패턴을 잘 저격한 문제라고 생각합니다요.

함숫값 0 되는 걸로 찾으면 상당히 번잡해집니다. 체계도 서기 힘들고요

 

 

히히히히 at 2016.04.30. 20:59
구러캐군여
생각해보니 저더 일일히 다 넣어서풀엇던거가튼데
2년지나니 넘 멍청해졋다
호구마 at 2016.04.30. 21:50
들어오니 아주 엄청난 댓글이 달려있었네요
혼자 고민해서 요렇게 결국 해결했는데
말씀 정말 최고 감사합니다
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apoc at 2016.05.01. 00:49

혼자 고민해서 해결하셨다니 축하드립니다. 그래야 실력이 늘어나는 것이지요.

 

 

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