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노하우:미분류 수학영역 실수를 줄이는 법

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수학영역 실수를 줄이는 법(PDF로 보시면 더욱 편리합니다)



1. 들어가며 : 실수의 원인은 특별한 것이 아니다.


실수는 대부분 "익숙함"이 부족해서 하게 됩니다. 기본적인 계산이나 공식 적용에 익숙하지 않아서 실수를 하는 것입니다. 뛰어난 목수는 연장을 노련하게 다루고 실수도 거의 하지 않듯이, 수학 고득점자도 수식 계산과 공식 적용에 아주 익숙하기 때문에 실수를 잘 하지 않습니다.


실수가 많은 학생들은 대부분 쉬운 문제를 푸는 것을 가볍게 여기고, 자신은 그런 쉬운 문제를 풀 필요가 없다고 착각합니다. 그러나 이런 학생들에게 쉬운 문제를 풀어보라고 하면 생각만큼 문제를 빨리 풀지 못하는 모습을 볼 수 있습니다.


실수를 줄이고 점수를 올리려면 연습, 연습, 또 연습을 해야 합니다. 겸허하게 쉬운 문제(교과서, 쎈)를 꾸준히 풀면서 연습하십시오. 매우 지루하고 귀찮은 과정이겠지만, 그러다 보면 실수도 줄고 문제풀이의 속도도 오르게 되어 안정적인 고득점에 큰 도움이 될 것입니다.


2. 그래도 실수가 적지 않게 발생한다면?


그러나, 기본적인 연습을 어느정도 거쳤음에도 불구하고 실수를 하는 경우가 있습니다. 이런 학생들에게는 아래와 같은 방법으로 실수를 줄여보기를 권합니다. 


1) 풀이과정에서 실수를 줄이기

풀이과정에서 실수를 확인하는 대표적인 방법은 '역대입'과 '다른 풀이'입니다.


(1) 구한 값을 문제의 상황에 역대입하자

계산 결과를 대입해서 조건이 성립하는지 확인하는 방법으로, 단답형 문항으로만 구성된 수능시험에서 절대로 오류가 발생할 수 없는 강력한 검토 방법입니다.


<예시문항>

이차함수 , , 을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.


<풀이>

이 문제는 ²라 하고 연립방정식을 풀어서 해결할 수 있습니다. 주어진 조건으로부터
  • … (1)
  • … (2)
  • … (3)
을 얻습니다. 여기서
  • :
  • :
이고, 두 식을 변변 더하면 에서 입니다. 그러므로 이고, 입니다. 즉 ²이고, 입니다.

<역대입 검토>

문제를 풀면서 구한 ²을 문제에 대입해보면 , , 입니다. 따라서 구한 는 올바르며, 입니다.
이 문항을 검토하기 위해 <풀이>의 매 단계를 한줄한줄 검토할 수도 있지만, <역대입 검토>로 조건 성립 여부만 검토하면 매우 짧은 시간만으로 실수 여부를 확인할 수 있습니다. 이 방법은 연립방정식 뿐만 아니라, 다음과 같이 다양한 단원에서 활용될 수 있습니다.
  1. 미분법 : 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구한 것이 일 때, 이고 인지 확인하기
  2. 적분법 : 부정적분을 미분해서 원래 함수가 나오는지 확인하기
  3. 통계 : 확률분포표에 미지의 값이 있을 때, 확률의 합이 1인지 확인하기
  4. 통계 : 확률밀도함수의 그래프의 밑넓이가 1인지 확인하기
  5. 명제 : 명제 문제에서 미지의 값이 주어졌을 때, 미지의 값을 대입하면 명제가 성립하는지 확인하기
  6. 평면곡선 : 이차곡선의 접선을 구할 때, 이차곡선의 방정식과 접선의 방정식을 연립했을 때 판별식이 0인지 확인하기
  7. 공간벡터 : 직선과 평면의 교점을 구했을 때, 구한 점이 직선 위에도 있고 평면 위에도 있는지 확인하기

(2) 다른 방식의 풀이를 사용하자

여러 가지 방식으로 풀 수 있는 문제라면 다른 방식으로도 풀어봅시다. 다시 풀어도 자신이 처음에 풀이한 방법으로 도출한 답이 나온다면 자신의 답에 더더욱 확신을 가질 수 있을 것이고, 다른 답이 나온다면 처음의 풀이나 나중의 풀이 중 실수가 있는 것이므로 검토의 대상으로 삼을 수 있습니다. 위에서 제시한 예시문항을 다른 풀이로 풀이하겠습니다.


<다른 풀이>

곡선 는 두 점 을 지납니다. 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은 입니다. 이때 방정식 , 즉 방정식 의 두 근은 이므로 입니다. 이므로 를 양변에 대입하면 에서 입니다. 따라서 이고, 입니다.
다음과 같은 경우를 포함한 많은 경우에 다른 방식의 풀이를 사용해볼 수 있습니다.
  1. 등차수열의 합 : 첫째항과 끝항 공식 vs 첫째항과 공차 공식
  2. 함수의 극한 : 극한으로 계산 vs 미분계수의 정의로 계산
  3. 미분법 : 전개하여 미분 vs 곱의 미분법으로 미분
  4. 경우의 수, 확률 : 아예 다른 풀이를 활용하여 풀기 (분류하기 vs 여사건 등)
  5. 공간도형에서 이면각 : 삼수선의 정리 vs 정사영 넓이비 활용하기
  6. 벡터의 내적 : 성분 계산 vs 두 벡터의 길이와 두 벡터가 이루는 각의 코사인 값



2) 실수할 상황을 회피하기


(1) 안 풀리면 일단 넘기자

객관식인데 구한 답이 선지에 없거나, 주관식인데 정답이 1~999 사이의 자연수가 아니거나, 이미 다른 주관식 문항에서 나온 정답이 다시 나온 경우가 있을 수 있습니다. 여기서 이 문제를 계속 붙잡고 있다 보면 같은 곳에서 계속 실수하여 제자리걸음만 하게 됩니다. 이때는 다른 문제를 몇개 풀고 나중에 푸는 것을 추천합니다.


(2) 자주 겪는 실수를 파악하고, 먼저 검토하자

자신의 실수 포인트를 아는 것도 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 어느 부분에서 자주 실수하는지를 파악한다면, 실전에서 그 유형의 실수를 우선적으로 검토하면 됩니다. 가령, 삼각형 넓이에서 1/2을 곱하지 않는 실수를 자주 한다면, 실전에서는 삼각형 넓이 문제를 최우선으로 검토하면 됩니다.


3) 실전 연습은 필수

앞서 설명한 방법들 또한 일종의 도구입니다. 이런 도구들 또한 자유자재로 활용하기 위해서는 실전과 유사한 환경에서 활용하는 연습을 해야 합니다. 그런 연습에 가장 적절한 교재는 실전모의고사입니다. 실전모의고사를 푸는 100분을 단순히 문제만 푸는 시간으로 활용한다면 '100분동안 수학 공부를 하였다' 외에 큰 의미를 갖지 못합니다. 실전모의고사를 풀 때에는, 제한된 시간 동안 문제를 푸는 것과 더불어 풀이 과정에서 실수를 줄이는 연습, 저지른 실수를 검토하고 교정하는 연습, 잘 풀리지 않는 문제를 만난 상황에서 신속하고 유연하게 대처하는 연습 등을 해야 합니다.


또, 풀이가 끝난 이렇게 뚜렷한 목적을 갖고 실전모의고사를 푼다면 보다 유용하게 교재를 활용할 수 있을 것입니다. 또, 실전모의고사를 통해서만 훈련할 수 있는 것이 있습니다. 잘 만들어진 실전모의고사는 대부분 수능과 유사한 환경을 만들기 위해 객관식 정답의 개수를 균등하게 배분하고(일명 44445법칙), 주관식 단답형의 정답이 중복되지 않도록 하며, 10~20 사이의 수가 높은 빈도로 정답이 되도록 합니다. 이러한 정보를 알고 있는 수험생이라면 실전모의고사를 풀 때, 풀지 못한 객관식 문항이 있는 경우 정답의 개수를 통해 문제를 풀지 않고도 정답을 선택할 수 있을 것이고, 풀지 못한 주관식 문항이 있는 경우 10~20 사이의 수 중 다른 문항에서 정답으로 나오지 않은 수로 찍는 등의 방법으로 찍어서 맞출 확률을 높일 수 있습니다. 이러한 부분에 익숙해져 있다면 실제 시험장에서 실력을 넘어선 점수를 획득할 가능성을 높일 수도 있고, 자신의 정답이 확실한지 확인할 수도 있습니다.



3. 마치며

저 또한 수험생 시절에 실수 때문에 많은 고민을 했었지만, 저는 이러한 방법들을 사용하여 2012 수능과 2013 수능에서 100점을 받을 수 있었습니다. 이 글이 실수로 고민하시는 분들에게 많은 도움이 되길 바랍니다.



ps. 이 글은 Typora로 작성하였습니다.

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