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공부:미분류 많은 분들이 미분계수와 도함수의 극한값을 혼동하고 계십니다.

  • logarithm
  • 조회 수 13210
  • 2014.08.29. 16:32
아래는 제가 어떤 분의 덧글에 답덧글로 달아드린 내용을 아주 약간 수정한 것입니다.

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많은 분들이 좌미분계수 우미분계수와, 도함수의 좌극한 도함수의 우극한을 혼동하고 계십니다.

좌미분계수와 우미분계수가 같아야 미분계수가 존재하는 것이며, f '(1)은 x=1 에서의 미분계수입니다. 역으로 말하면 미분계수가 존재하면 그 점에서 미분가능한 것입니다. 도함수가 그 점에서 연속이 아니더라도 미분계수가 존재하면 그 점에서는 미분가능한 것입니다.

추가적으로 제가 정말로 고등학교 과정에서 증명은 하지도 못하고 아무도 관심도 없지만 사실인 것들만 나열하겠습니다. 이건 틀린 점 없이 사실입니다.

f(x)가 x=a 에서 연속일 때,
x=a 에서 도함수의 좌극한과 우극한이 존재하고 그 둘이 같으면 x=a 에서의 미분계수가 존재한다고 알려져 있습니다. 즉 x=a 에서 미분 가능하다고 알려져 있습니다.
(여기서 존재한다는 것은 발산하지 않고 특정 값으로 수렴하여 존재한다는 뜻입니다.)
위에서 그 둘이 존재하고 값이 다르다면 x=a 에서 미분이 불가능한 익히 알고 있는 소위 첨점의 형태를 띠게 됩니다.
한편 x=a 에서의 도함수의 좌극한과 우극한이 발산하여 존재하지 않는다면 x=a에서 미분 불가능이라고 단정짓는 것이 아니라 x가 a로 한없이 가까이 갈 때의 도함수의 정의를 사용하여 판별하면 됩니다.
(도함수의 정의가 바로 좌미분계수와 우미분계수를 따로 알아보고 합치는 것입니다.)
위에서 도함수의 극한값이 존재할 때도 그리 하면 되지만 보통은 이렇게 알려진 것을 이용하여 그냥 미분하고 값 대입하죠? 그게 바로 도함수의 극한값만 가지고 미분계수가 존재한다고 생각하고 넘어가는 것입니다. 대부분은 이렇게까지 깊이 생각을 해보지 않고, 또 많은 이들이 좌우미분계수와 도함수의 좌우극한이라는 용어를 혼동합니다.

PC라면 더욱 좋은 설명을 수월하게 쓸 수 있을텐데 모바일이라 불편해서 제약이 있군요.

이번 기회에 잘못 알고 계신 것을 바로잡으실 수 있으면 합니다.
<?php if(!defined("__XE__")) exit();?>

YUMC♥

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