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공부:미분류 Polya의 문제 해결 전략 4단계

Polya는 수학적 문제해결의 과정을 다음과 같이 4단계로 구분하였다.


 

문제 이해 계획 작성 계획 실행 반성


 

Polya가 제시한 위의 4간계 문제해결 모델은 여러 학자들에 의해 수정, 보안되고 있다. 간략히 소개하면 다음과 같다. Schoenfeld(1985) Polya 문제해결 단계에 탐구의 단계를 추가하여 분석 이해 계획 어려운 문제에 대한 탐구 실행 검증 이라는 문제 해결 모델을 제시하였고, 버튼(Butron, 1985) 도입(문제를 이해하라) 공략(문제를 푼다) 검토(풀이를 검토한다) 확장(문제를 일반화한다)라는 문제해결 과정을 제시하였는데, 이는 Polya 문제해결 4단계 반성의 단계를 중시한 것이라고 있다. 버튼의 문제해결 모형은 전략의 사용과 구사에 초점을 맞추기보다는 문제를 풀고 후에, 문제의 의미에 대한 음미, 후속학습을 위한 일반화 등의 학습 활동을 강조한다. 학생들은 이러한 문제해결 과정을 경험하면서 점차 자율적인 문제 해결자가 되어야 한다. 그러기 위해서는 교사의 역할이 매우 중요하다. 처음부터 교사의 아무 도움 없이 학생 스스로 문제를 해결하기란 쉽지 않다. 따라서 교사는 학생의 문제해결 과정에 적절히 참여하여 학생의 문제해결 력을 향상시킬 수 있도록 도와주어야 한다. 또한 너무 적극적으로 학생의 문제 해결을 도와주는 것은 옳지 않다. 이를테면 학생에게 결정적인 단서나 풀이 방법을 제시해 주면 학생은 스스로 할 것이 거의 없게 된다. 따라서 교사는 학생의 사고를 적절히 자극하고 이끌어 주며 각 단계마다 학생의 문제 해결에 도움이 될 수 있는 적절한 발문과 권고를 해 주어야한다.


 


문제해결의 각 단계에서 교사가 사용할 수 있는 적절한 발문과 권고는 다음과 같다.


문제 이해 단계(understanding the problem)


문제 이해 단계란 문제에서 요구하는 바를 파악하는 단계이다. 이 단계에서는 문제를 해결하려는 욕구를 가지고 바른 문제 해결을 위해서 문제를 정확하게 이해해야한다. 이해가 되지 않는 문제에 답을 하는 것은 어리석은 일이다. 문제를 이해하고자 한다면 문제의 언어적 표현을 이해하고 문제의 주요부분 즉, 미지의 것, 자료 조건 혹은 가정과 결론을 명확히 인식해야한다. 이 단계를 발문과 권고로 제시하면 다음과 같다.


미지의 것은 무엇인가?


자료는 무엇인가?


조건은 무엇인가?


조건은 만족될 수 있는가?


조건은 미지의 것을 결정하기에 충분한가, 불충분한가, 또는 모순되는?


그림을 그려 보아라.


적절한 기호를 붙여보아라.


조건을 여러 부분으로 분해하라.


계획의 작성(devising a plan)


계획의 작성 단계란 문제의 해를 구하기 위한 풀이 방법을 고안해 내는 과정이다. 문제에서 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하여 문제 해결에 도움이 될 만한 여러 가지 전략을 구사하는 경우가 많다. 문제에 대한 이해로부터 계획을 세우게 되기까지의 길은 얽혀 있을 수 있다. 계획에 대한 생각은 점진적으로 떠오를 수도 있고 시행착오나 망설임을 거친 뒤에 섬광처럼 번쩍이는 생각이 떠오를 수도 있다. 학생이 그런 생각을 할 수 있도록 하기 위해 제기 할 수 있는 발문과 권고는 다음과 같다.


전에 그 문제를 본적 있는가?


약간 다른 형태로 된 같은 문제를 본 적이 있는가?


관련된 문제를 알고 있는가?


미지인 것을 잘 살펴보아라.


친숙한 문제 중에 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.


관련된 문제로 전에 풀어 본 적이 있는 문제가 있는데, 그것을 이 문제를 푸는데 활용할 수 없을까?


문제를 달리 진술할 수 있을까? 좀 더 다르게 진술 할 수 있을까?


정의로 되돌아가 보자. 이 용어의 정의가 무엇이었나?


이 문제를 풀 수 없다면 이 문제와 관련된 문제를 먼저 풀어 보자.


보다 쉬운 관련된 문제를 생각해 낼 수 있을까?


유사한 문제는?


문제를 부분적으로 풀 수 있는가?


조건 가운데 일부분만 남기고 다른 건은 버려보아라. 그렇게 하면 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는가?


자료로부터 무엇인가 유용한 것을 이끌어 낼 수 있을까?


새로운 미지인 것과 새로운 자료가 서로 가깝게 되도록 미지인 것이나 자료를 변형 할 수 있을까?


자료는 모두 사용하였는가?


조건은 모두 사용하였는가?


문제에 포함된 핵심적인 개념을 모두 고려하였는가?


계획의 실행(carrying out the plan)


이 단계에서는 앞에서 세운 계획에 따라 실제적인 실행을 하게 된다. 계획을 실행할 때는 세부적인 사항까지 확실하게 점점해야 한다. 이러한 실행 과정에서는 주로 알고리즘에 따른 계산이 수반된다. 계산을 할 때에는 실수하지 않도록 매 단계를 검산하는 것이 중요하다.


풀이의 각 단계를 조심스럽게 실행하도록 하라.


각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가?


그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?


반성(looking back)


반성 단계는 완성된 풀이를 검토하고 그 결과와 결과에 이르는 과정을 재점검해 보는 단계이다. 이는 획득한 지식을 견고히 하고 문제 해결에 대한 전체적인 조망을 얻을 수 있다는 점에서 중요하다. 반성을 통해 이해를 깊게 할 수 있고, 풀이를 개선 할 수 있으며 다양한 시각에서 문제를 바라볼 수 있다.


결과를 점검할 수 있는가?


풀이 과정을 점검할 수 있는가?


결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?


결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?


반성은 자신의 사고과정을 대항으로 하는 인식 활동이라는 점에서 메타인지적인 사고라고 할 수 있다. Schoenfeld Silver는 문제해결 과정에서 메타인지적인 측면에 대한 고려가 필수적이라고 보았다. 메타인지는 자신의 사고 과정에 대한 인지로서, 메타인지의 예로는 자신이 사고과정을 모니터 하거나 조절하는 정신적 활동을 들 수 있다. 문제해결의 과정에서 수행하는 모든 활동에 대해서 각각을 모니터 하고 조절하는 것이 필요하다는 측면에서 메타인지는 문제 해결의 4단계에 모두 영향을 미치지만 가장 밀접한 관련을 갖는 것은 반성단계라고 할 수 있다. 즉 반성 단계에서 이루어지는 결과와 풀이 과정의 점검, 다양한 방법의 모색, 다른 문제에의 일반화, 우아한 해법의 추구 등은 대표적인 메타인지의 활동이라고 할수 있다.


 

한편, 위의 Polya의 문제해결 4간계에서 제시한 발문과 달리피타고라스의 정리를 적용 할 수 없는가?”, “두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 이용해 보아라.”와 같은 구체적인 힌트를 제공하는 발문이나 권고를 사용하는 경우가 많을 것이다. 문제의 해결에 이르는 길을 이미 알고있는 교사는 자신이 알고 있는 그 길을 학생들에게 빨리 일러주고 싶은 충동을 느낄 수 있다. 그러나 이러한 발문은 다음과 같은 한계를 지닌다.지나치게 구체적이고 특수한 발문이나 지나치게 일반적인 발문과 권고는 가급적 사용하지 않는 것이 바람직할 것이다.


학생이 제시된 문제를 거의 해결할 단계에 와 있으면 학생은 이러한 발문에 함의된 암시를 이해할 수 도 있다. 그러나 그렇지 못한 경우라면 학생은 그 발문이 무엇을 이끌어 내고자 하는지를 전혀 알지 못할 것이다.


학생이 이러한 발문이나 권고를 이해한다고 해도, 이러한 발문이나 권고는 모든 비밀을 교사가 다 벗겨 버림으로써 학생들이 해야 할 것을 거의 남겨 놓지 않는다.


이러한 발문이나 권고는 지나치게 구체적이고 특수한 것이다. 학생들이 당면한 문제는 이러한 발문과 권고를 이용하여 해결할 수 있을지 모른다. 그러나 이러한 발문으로 문제를 해결한 경험을 미래에 다른 문제를 해결하는 데는 별 도움이 되지 못한다. 그 때는 또 그 문제에 대한 구체적이고 특수한 발문과 권고를 교사가 제시해 주는 것을 필요로 할 것이기 때문이다.


학생이 이러한 발문과 권고를 이해하였다고 하더라도 학생은 교사가 떻게 그와 같은 발문을 하고자 한 생각에 도달하게 되었는지를 거의 이해할 수 없다. 그 결과, 학생은 스스로 이러한 발문을 할 수 있는 능력을 갖추기 못하게 된다.


수학에서 문제해결은 아무리 강조해도 지나치지 않는다. 그만큼 이것이 차지하는 비중이 커서 문제 해결을 등한시하고 수학의 교수&학습을 논할 수 없는 일이다.


Polya의 문제해결 이론을 적용한 수학교과에서의 지도연구(한양대학교 교육대학원 정슬비)


*요즘의 과열된 입시 시장을 보면 Polya가 수면 위로 등장할 법도 한데, 아직 그러한 움직임은 보지 못했습니다.


**지금은 절판된 수학영역의 비밀과 함께 학습한다면 훌륭한 도구가 되 줄 것입니다.


***콕콕에서 쓰는 마지막 글입니다. 엄밀히 말하면, 제가 쓴 글은 아니죠(__)

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댓글
1
1등 Faker
마지막이라니 아쉽네요..
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17:23
2016.06.27.
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