연속함수의 합성

허혁재(前) | 노/칼:학습 | 조회 수 2971 | 2017.12.11. 05:04
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연속함수의 합성

들어가며

미적분 I 교과서에서는 다음의 두 가지 사실이 '알려져 있다'[1]며 연속함수에 대한 논의를 펼친다.

  1. 어떤 열린 구간 $(a,\: b)$에서 연속인 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 두 함수의 합, 차, 실수배, 곱, 몫(단, 분모가 0이 아닐 때)으로 표현된 함수인 
    $$f(x)+ g(x),\: f(x)-g(x),\\ \: kf(x),\: f(x)g(x),\: \dfrac{f(x)}{g(x)}$$도 열린 구간 $(a,\: b)$에서 연속이다
  2. 상수함수 $y=c$와 항등함수 $y=x$는 열린 구간 $(-\infty,\: \infty)$에서 연속이고, 무리함수 $y=\sqrt x$는 반열린 구간 $[0,\: \infty)$에서 연속이다.

그런데 교과서는 두 연속함수를 합성한 함수에 대한 연속성을 직접적으로 논하지 않고 있다. 그럼에도 불구하고 본 소재는 수능과 모의평가에 수차례 출제되었으므로, 교육과정평가원에서는 이를 고교과정상에서 충분히 다룰 수 있다고 판단한 것으로 보인다.
본 내용은 교과서 텍스트에서 직접 다루지 않는 내용이다보니 인터넷을 뒤져보아도 오타나 오류가 포함된 경우가 많아 오개념을 가질 위험성이 높으므로, 부득이하게 짧은 글솜씨로나마 다루어보고자 한다.

연속을 해석하는 관점

교과서는 다음이 모두 성립하면 함수 $f(x)$ $x=a$에서 연속이라고 정의한다.

  1. 함수 $f(x)$ $x=a$에서 정의되어 있다.
  2. $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재한다.
  3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

여기서 3번의 $f(a)$에 주목해보자. $a=\lim_{x \to a} x$가 성립하므로, 3번의 식을 다시 쓰면 

$$\lim_{x\to a} f(x) = f\left (\lim_{x\to a}x \right)$$

가 된다. 즉, 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이라는 것은 $\lim_{x\to a}$와 함수 $f$의 순서를 바꾸어 계산해도 성립한다는 것임을 알 수 있다.[2]

두 연속함수의 합성(한 점에서)

이제 현행 교과서에서 사용하고 있는 테크닉[3]을 사용하여 다음 명제를 증명해보자.

$x=a$에서 연속인 함수 $f(x)$ $x=f(a)$에서 연속인 함수 $g(x)$에 대하여
함수 $g(f(x))$ $x=a$에서 연속이다.


증명

연속의 정의에 의해 다음이 모두 성립하면 함수 $g(f(x))$ $x=a$에서 연속이다.

  1. 함수 $g(f(x))$ $x=a$에서 정의되어 있다.
  2. $\lim_{x \to a} g(f(x))$가 존재한다.
  3. $\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(f(a))$

1의 증명

$g(f(x))$ $x=a$를 대입하면 $g(f(a))$가 존재한다. 따라서 1은 성립한다.


2의 증명

$f(x)=t$로 치환하면, 함수 $f(x)$ $x=a$에서 연속이므로 $x\to a$일 때 $t\to f(a)$이다. 따라서 $\lim_{x \to a} g(f(x)) = \lim_{t \to f(a)} g(t)$이다. 함수 $g(t)$ $t=f(a)$에서 연속이므로, 이 극한값은 $g(f(a))$로 존재한다. 따라서 2는 성립한다.

3의 증명

2에서 밝힌 바에 의해 3이 성립한다.

결론

1, 2, 3이 성립하므로 주어진 명제는 참이다.

두 연속함수의 합성(정의역 전체에서)

앞서 증명한 명제는 한 점 $x=a$에서의 연속성을 증명한 것이다. 이를 정의역 내의 임의의 실수 $a$로 확장하면 다음이 성립함을 증명할 수 있을 것이다. (증명 생략)

열린 구간 $(a,\: b)$에서 연속이고 치역이 $R$인 함수 $f(x)$와 열린 구간 $(c,\: d)$에서 연속인 함수 $g(x)$에 대하여
$R \subset \left\{x \mid c < x < d \right\}$이면 함수 $g(f(x))$는 열린 구간 $(a,\: b)$에서 연속이다.

증명한 명제의 활용 : 로그와 리미트의 순서 바꾸기

미적분 II의 지수함수의 미분 단원의 핵심 내용은 $\lim_{x \to 0} (1+x)^\tfrac{1}{x}=e$을 아는 상태에서 $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$를 증명하는 것이라 할 수 있다. 그런데, $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$을 증명하는 과정의 막바지에서 다음과 같은 식이 등장한다.

$$\lim_{t \to 0} \ln(1+t)^\tfrac{1}{t} = \ln e$$

이 식에는 다음과 같은 중간 과정이 생략되어 있다. 

$$\lim_{t \to 0} \ln(1+t)^\tfrac{1}{t} = \ln \left( \lim_{t \to 0} (1+t)^\tfrac{1}{t} \right) = \ln e$$

이 식은 $\lim$ $\ln$의 순서를 바꾸어 계산해도 성립한다는 사실을 전제한 것이므로, 이는 로그함수가 주어진 상황에서 연속임을 전제한 것임을 알 수 있다. 로그함수와 지수함수의 연속성 또한 따로 증명한 바 없이 '알려져 있으므로', 로그함수가 연속이므로 리미트와 로그의 순서를 바꿀 수 있다고만 생각해도 충분하다.

여기까지만 생각하고 넘어가도 미적분 II를 공부하는데 큰 지장은 없지만, 찜찜한 구석이 남는 학생들이 있을 것이다. 학생들이 자주 헷갈리는 지점은 대략 다음과 같을 것이다.

  1. 로그함수는 $t=0$에서 연속이 아닌데, 이 상황에서는 $\lim_{t\to 0}$이므로 저렇게 말할 수 없지 않을까?
  2. 저것은 순수한 로그함수인 $\ln x$가 아니라 로그함수와 $(1+t)^\tfrac{1}{t}$를 합성한 함수라 그렇게 함부로 논할 수는 없지 않을까?

그래서 이 친구들의 의문을 해소시키기 위해 좀 더 자세히 따져보도록 하자. 먼저, '두 연속함수의 합성'을 이용하기 위해 $f(t)=(1+t)^\tfrac{1}{t}$라 하자. 그러면 우리가 끌어내야 하는 결과는 다음과 같다. 

$$\lim_{t \to 0} \ln f(t) = \ln \left\{ \lim_{t \to 0} f(t) \right\}$$

그런데 현재 상태로는 '두 연속함수의 합성'을 이용할 수 없다. 우리가 이용해야 하는 것은 '두 연속함수의 합성'인데, $f(t)$ $t=0$에서 정의되지 않았으므로 $t=0$에서 연속이 아니기 때문이다. 따라서 $f(t)$의 불연속을 해결한 새로운 함수 $g(t)$를 다음과 같이 얍삽하게 정의해버리자. ($g(t)$의 정의역은 적당히 $(-1, 1)$로 잡자)

$$g(t)=\begin{cases}(1+t)^\tfrac{1}{t} & (t \ne 0) \\ e & (t=0) \end{cases}$$

그러면 우리가 끌어내야 하는 결과는 다음과 같다.

$$\quad\ \lim_{t \to 0} \ln g(t) = \ln \left\{ \lim_{t \to 0} g(t) \right\}$$

여기까지 오면 두 개의 의문 중 2번 의문은 해결되었을 것이다. 이제 1번 의문을 해결하기 위해서는 '두 연속함수의 합성(한 점에서)'의 증명 과정을 고대로 따라가거나, 확장된 명제를 이용하면 된다. 스스로 해볼 사람은 여기서 읽는 것을 멈추고 노트를 펴서 증명해보도록 하고, 귀찮은 사람은 쭉 따라 읽자.

두 연속함수의 합성(한 점에서)을 이용하여 마무리

$g(t)=y$로 치환하자. 그러면 $g(t)$는 연속함수이므로 $t \to 0$일 때 $y \to e$이다. 따라서 $\lim_{t \to 0} \ln g(t) = \lim_{y \to e} \ln y = e$이다.

치환하고 나서 1번 의문이 바로 해결되었을 것이다. 얼핏 보기에는 주어진 식이 $0$으로 갈 때의 극한으로 보였지만, $\ln$ 안에 합성된 식 때문에 $\ln$의 입장에서는 $e$로 갈 때의 극한이었기 때문에 문제가 없었던 것이다.

두 연속함수의 합성(확장)을 이용하여 마무리

함수 $g(t)$의 치역 $R$이 함수 $\ln x$의 정의역 $\{ x \mid x>0 \}$의 부분집합이면 된다. $R$의 원소는 양수뿐이므로 주어진 함수는 $t=0$에서 연속이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다. (여기서 굳이 $R$의 범위를 정확하게 구하기 위해서 함수 $g(t)$의 최대최소 등을 따질 필요는 없다. 부분집합이라는 것만 알면 충분하니까.)

맺으며

이렇게 교과서가 얼렁뚱땅 넘어가거나 애매하게 넘어가는 부분들이 종종 있다. 이것은 교과서의 결함이라기보다는 '굳이 이렇게까진 안해도 돼~' 라는 교과서 저자와 교육과정을 수립한 관계자들의 배려가 아닐까 싶다. 앞으로도 종종 이러한 주제를 다룰 일이 있다면 다뤄보도록 하겠다.

사족

불연속함수와 연속함수를, 연속함수와 불연속함수를, 불연속함수와 불연속함수를 합성해도 연속이 되도록 하는 문제들을 겪어보았을 것이다. 그런 문제들은 오늘 증명한 명제의 증명 방법과 동일하게 가되, 극한값을 한 번에 따지지 않고 좌극한과 우극한을 각각 따져주면 된다.


  1. 이를 입실론-델타 논법으로 증명하는 것은 교육과정에서 벗어나며, 이는 마치 중학생에게 미지수가 2개인 연립방정식을 풀기 위한 도구로 이차정사각행렬을 가르치는 것과 마찬가지이므로 논의하지 않기로 하자. ↩︎
  2. $\lim_{x \to a}$ 또한 일종의 함수이므로, $x=a$에서 연속인 함수는 $\lim_{x\to a}$ 함수와 합성의 순서를 바꾸어도 결과값이 같은 함수라고 생각할 수 있다. ↩︎
  3. 말이 테크닉이지, 사실 그냥 치환이다. 교과서 텍스트에는 나오지 않지만 문제와 해설을 통해 간접적으로 사용되고 있다. 미래엔 교과서 84페이지 5번 문제를 참고하라. ↩︎

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허혁재(前)

(level 9)
46%
운영계정/개인게정으로 혼용하던 계정입니다.현재는 사용되지 않습니다.
Profile image 기도하자 2017.12.11. 05:09

잘봤습니다


리미트f(x)를 f(limx)로 쓰는건 처음봤네요

허혁재(前) 2017.12.11. 11:57
교환이 성립하는 경우는 대부분 중요하게 다뤄지죠. 그것이 행렬(딱..딱..), 함수합성, 시그마, 리미트, 미분, 적분, 벡터, 통계든 관계 없이요.
Profile image 하늘연 2017.12.11. 09:05

수학과 관점에선 함수의 극한을 수열의 극한으로 정의한다면 증명의 모호함 정도는 없어지는데 쩝... 

오히려 그러면 설명이 더 쉬워집니다.

현재 증명도 어쩔수 없는 모호함이 있는건 좀 아쉽습니다.

허혁재(前) 2017.12.11. 11:26

현재는 PDF 거죽만 남아 유령처럼 떠돌아다니는 성지 교과서가 해당 내용을 한꼭지 다룬 바 있긴 한데...


Profile image 안용훈 2017.12.11. 12:44

ㅎㅎ 제본뜬거 있는뒈

허혁재(前) 2017.12.11. 11:57
의문 해결에 도움이 되었기를 바랍니다 ㅎㅎ
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