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허혁재

노/칼:학습 극값의 정의

  • 허혁재
  • 조회 수 1186
  • 2017.12.20. 22:12
첨부 2
  1. 1513775478921.jpg (File Size:16.2KB/Download:80)
  2. 1513775505579.jpg (File Size:34.4KB/Download:68)

극값의 정의

극값의 정의가 책마다 다르거나, 이전 교육과정의 내용과 섞이는 경우가 많아 극값의 정의에 대한 글을 써보고자 합니다.


2007 개정교육과정 이전의 정의

증가상태, 감소상태 등을 정의하여 증가상태에서 감소상태로 바뀌는 지점에서 극대, 감소상태에서 증가상태로 바뀌는 지점에서 극소라 정의했습니다. 이는 어차피 수학적으로 잘못된 정의이므로, 증가상태가 뭐고 감소상태가 뭔지에 대해서는 이야기하지 않겠습니다.


문제점

해당 정의의 오류를 지적한 논문을 참고하면 기존의 정의에는 다음과 같은 문제들이 있습니다. 이는 본 글에서 다루고자 하는 주제에서 벗어나므로, 간략하게 언급하겠습니다. 자세한 내용은 원문을 참고하여 확인하시기 바랍니다.


  1. 정의가 엄밀하지 않아 생긴 문제점
    • '증가상태’와 '증가’가 정확히 맞아떨어지지 않음
    • 증가상태에서 감소상태로 바뀌지 않는데도 극대인 경우가 존재
    • 감소상태에서 증가상태로 바뀌지 않는데도 극소인 경우가 존재
  2. 불연속함수에서의 극값을 설명하지 못함
  3. 최댓값인데도 극댓값인 경우(상수함수)를 설명하지 못함


성지교과서의 극값의 정의

기존 정의의 오류를 지적한 논문의 저자가 성지교과서를 집필하였으므로, 성지교과서에서 극값의 정의는 논문에서 제시한 해결책이 그대로 반영되었습니다.

$x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간에서 함숫값 $f(x)$가 정의되는 모든 $x$에 대하여 $f(x) \le f(a)$가 성립하면, 함수 $y=f(x)$ $x=a$에서 극대가 된다고 하며, 이때 $f(a)$를 극댓값이라고 한다.


$x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간에서 함숫값 $f(x)$가 정의되는 모든 $x$에 대하여 $f(x) \ge f(a)$가 성립하면, 함수 $y=f(x)$ $x=a$에서 극소가 된다고 하며, 이때 $f(a)$를 극솟값이라고 한다.

성지교과서의 정의에서 유심히 살펴보아야 할 지점은 '어떤 열린 구간에서 함숫값 $f(x)$가 정의되는 모든 실수 $x$에 대하여’ 입니다. 이 정의에 따르면, 함수 $y=f(x)$의 정의역이 닫힌 구간 $[a,\: b]$일 때 $x=a$, $x=b$에서도 극값의 정의만 만족한다면 극값을 가질 수 있음을 알 수 있습니다. 단 구간 끝에서는 열린 구간이 아니라 반열린 구간 $[a,\: k)$, $(k,\:b]$가 될 것입니다.


정의에 따라 국소 구간에서의 최댓값이 극댓값으로 정의되었으므로, 정의역 전체에서의 최댓값은 극댓값 중 하나입니다. 최솟값도 마찬가지입니다. 그러므로 극대극솟값과 최대최솟값 사이의 관계를 다음과 같이 벤 다이어그램으로 간단하게 나타내기 편리합니다.


ev.png


현행 교과서의 극값의 정의

그런데 현행 교과서의 정의에서는 정의가 약간 다릅니다.

$x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x) \le f(a)$가 성립하면, 함수 $f(x)$ $x=a$에서 극대가 된다고 하고, 그때의 함숫값 $f(a)$를 극댓값이라고 한다.


$x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x) \ge f(a)$가 성립하면, 함수 $f(x)$ $x=a$에서 극소가 된다고 하고, 그때의 함숫값 $f(a)$를 극솟값이라고 한다.

현행 교과서의 정의에서 유심히 살펴보아야 할 지점은 역시 '$x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $x$에 대하여’ 입니다.이 정의에 따르면, 함수 $y=f(x)$의 정의역이 닫힌 구간 $[a,\: b]$일 때 $x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간 $(c,\: d)$를 잡으면 $c<x<a$인 모든 $x$에 대하여 함숫값 $f(x)$가 정의되지 않게 됩니다. 그러면 부등식을 논할 수가 없게 되므로 $x=a$에서는 극값을 가질 수 없습니다. 구간의 반대편 끝인 $x=b$에서도 마찬가지로 극값을 가질 수 없습니다.


사실, 둘이 다른 말을 하고 있는 것은 아니다

성지교과서와 현행교과서의 정의의 미묘한 차이로 인해 구간 끝값도 극값이 될 수 있는지의 여부가 달라져버렸습니다. 그렇다고 이후 미분 단원에서 무슨 커다란 차이가 일어나게 될까요? 사실은, 그렇지는 않습니다.


교육과정상 극댓값은 최댓값과, 극솟값은 최솟값과 함께 결부지어 이야기하게 됩니다. 마치 앞서 성지교과서가 ‘최댓값은 극댓값의 부분집합’, '최솟값은 극솟값의 부분집합’임을 이야기했듯이요.


마찬가지로 현행 교과서도 같은 내용을 다루게 되는데, 현행 교과서에서, 닫힌 구간 $[a,\: b]$에서의 최댓값은 '극댓값과 $f(a)$, $f(b)$를 비교하여’, 최솟값은 '극솟값과 $f(a)$, $f(b)$를 비교하여’ 구할 수 있다고 설명하고 있습니다. 결국 구간 끝 값인 $f(a)$, $f(b)$는 비록 극댓값 또는 극솟값이 될 수는 없지만, 엄연히 최댓값과 최솟값의 후보가 될 수 있으므로, 최댓값과 최솟값을 따질 때에는 성지교과서와 현행교과서의 서술이 그리 다르지 않음을 알 수 있습니다.


그럼 대체 현행교과서는 구간 끝 값을 극값에 넣지 않았는가?

성지교과서 정의가 문제가 있어서가 아니라, 구간 끝값에서의 극값은 학생들이 착각하기 쉬운 지점이기 때문입니다. 직관적으로 생각했을 때, 구간 끝 값은 항상 극값일 거라고 속단하기 쉽습니다. 그런데, 그렇지 않다는게 문제입니다.


예시를 통해 설명하겠습니다. 정의역이 $[0,\: \infty)$인 함수 

$$f(x)=\begin{cases} 0 & (x=0) \\ x^2 \sin \left(\dfrac{1}{x}\right) & (x>0) \end{cases}$$

를 생각해봅시다. 직관적으로 생각했을 때, $x=0$에서 극대 또는 극소여야 한다고 착각하기 쉽지만, 이는 어떤 반열린 구간 $[0,\: k)$를 잡더라도 $f(x) \le f(0)$도, $f(x) \ge f(0)$도 만족시키지 못합니다. 따라서 함수 $f(x)$ $x=0$에서 극대도, 극소도 아닙니다.


만약 성지교과서의 정의를 그대로 따른다면, 학생들은 구간 끝 값이 극값이냐 아니냐를 판정하는 것까지 공부해야 할 것입니다. 현행 교과서는 구간 끝 값이 극값이 될 수 없다고 정의함으로써, 학생들이 착각할 여지를 뿌리뽑아버렸고, 이는 학생들의 학습 부담을 덜어주기 위한 배려라고 생각합니다.


세줄요약


1. 2007 개정교육과정 이전의 극값 정의는 오류가 있었음.
2. 성지교과서가 깔끔하게 정의하여 오류를 해결함.
3. 현행교과서는 성지교과서를 따르되, 학생들이 착각하기 쉬운 부분(구간 끝값의 극값 여부)을 근본적으로 제거함.



#정의 #끝값 #극솟값 #극댓값 #정의역 #극값 #정의극값

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댓글
4
2등 غيرقادرعلىالبحث

성지 말고 현행교과대로 설명하면

함수 최대최소를 설명할때

극댓값중에서 가장 큰 값이 최댓값이라고는 못하는거 아닌가요?

이부분은 교과서가 어떻게 서술하고있는지 궁금하네요

이 댓글을 신고합니다. 취소 신고
23:11
2017.12.20.
허혁재
글쓴이
허혁재 غيرقادرعلىالبحث

그냥 제가 본문에 말한대로입니다.



이 댓글을 신고합니다. 취소 신고
23:33
2017.12.20.
피아테
3등 피아테

MMD로 서브노트 편집해볼가...

이 댓글을 신고합니다. 취소 신고
21:27
2017.12.26.
취소
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